お客様から荷物が届かないとメールが届きました。Amazonの購入履歴をみると「申し訳ありません。配送中に問題が発生しました。」とメッセージが、こういう時はどうすれば良いでしょうか？

まずは、Amazonのカスタマーに電話して、ギフトが届いていない。同じものを注文したら、いつ届くか。と言った感じで連絡するのがいいと思います。

その上で、新しい注文をするのか、カスタマーから新しいものを手配してもらうのか、を決めたら良いと思います。

お客様にお詫びして…
①配送中に商品が破損したのに、配送業者からの連絡が遅れていた
②すぐに発送の手配をさせて頂ければ、○日に届きます
③キャンセルして返金も可能です

みたいな形で連絡するといいかもしれません。